30 Dec 2023
Эта заметка потихоньку дополняется. Информация из самых разных источников, местами используется разные обозначения.
Полезные ссылки и выдержки из них:
Про разницу между разными алгебрами: https://math.stackexchange.com/questions/4478664/what-is-the-difference-between-projective-geometric-clifford-algebra-grassman
Геометрическая алгебра и алгебра Клиффорда (Geometric Algebra and Clifford Algebra) это по-сути одно и то же. Сигнатура (p, q, r) обозначает, что есть p базисных векторов, квадрат которых равен единице, q векторов с квадратом-минус единицей и r с квадратом-нулём.
В них есть wedge product и geometric product.
Проективная геометрическая алгебра (Projective Geometric Algebra, PGA): добаляется ещё одно измерение, получается сигнатура (n, 0, 1).
Внешнаяя алгебра и алгебра Грассмана (Grassmann Algebra and Exterior Algebra) опять одно и то же. Это часть геометрической алгебры, в которой не используют geometric product. Например, wedge product из двух точек сделает прямую. meet сделет наоборот (например, вместо двух плоскостей даст прямую-пересечение).
Кватернионы содержатся в GA(3, 0, 0), которое содержится в GA(3, 0, 1)
Конформная геометрическая алгебра (Conformal Geometric Algebra) - расширение PGA, включает ещё одну размерность. (n + 1, 1, 0) (Возможно, тут опечатка и надо поменять 0 с 1 местами). PGA включает только плоскую геометрию (точки, прямые, плоскости), CGA ещё содержит круглые штуки типа кругов, сфер и может описывать консормные преобразования.
Есть два сайта с разными определениями, наверно лучше использовать только первый.
- https://bivector.net/index.html
- Cайт, на нём есть шпаргалочки в pdf: https://projectivegeometricalgebra.org/ и на нём же ссылка на wiki: https://rigidgeometricalgebra.org/wiki/index.php?title=Main_Page
В чём разница: На bivector используется базис wxyz, а на projectiveGeometricAlgebra - xyzw = -wxyz. Из-за этого в формулах типа правого или левого дополнения будут другие знаки. Что ещё важнее - в bivector считается, что вектор - это плоскость, бивектор - пересечение двух плоскостей (линия), тривектор - точка. И геометрическое произведение позволяет переходить от одного к другому. Вдобавок есть обратимая операция dual, которая превращает плоскости в вектора и наоборот. Антигеометрическое произведение определено как геометрическое в дуальном пространстве.
На projectiveGeometricAlgebra вместо этого предполагается, что вектора - это вектора, а плоскости - это тривектора. При этом для повышения размерности вводится анти-геометрическое произведение, и оно почему-то определено через rightComplement и leftComplement. У меня получилось, что это определение почему-то не совпадает с определением от bivector и вдобавок вместо одного универсального dual надо не забывать использовать leftComplement и rightComplement - в общем, мне всё это не понравилось.
Вдобавок для bivector есть работающий код, а для другого сайта нет.
Можно скачать код на python или С++ и посмотреть как оно должно быть реализовано: https://bivector.net/tools.html?p=3&q=0&r=1
И есть шпаргалочки: https://bivector.net/3DPGA.pdf
А ещё там есть ссылка на книжку в 66 страниц: Geometric Algebra Primer
библиотека на С++ с бивекторами, моторами и т.п. а так же элементами конформной алгебры : https://github.com/EricLengyel/Terathon-Math-Library
википедия: Geometric algebra, Exterior algebra
Есть книжка, в которой автор попробовал выразить уравнения физики через геометрическую алгебру:
D. Hestenes - New Foundations for Classical Mechanics (geometric algebra), я нашёл second edition 2022 года. Но книжка мне не очень понравилась - во-первых, используется обычная алгебра (а не геометрическая) и преобразования записываются как Y = R X R + B, во вторых некоторые упоминаемые вещи работают только для трёхмерного пространства (например, что для ветора ai = ia, но вообще говоря это зависит от чётности количества измерений и может быть ai = -ia
хорошая статья про проективную алгебру: https://arxiv.org/abs/1901.05873
Статья с хабра со взглядом с точки зрения физики: https://habr.com/ru/articles/732926/. На мой взгляд самая интересная часть про проекторы и идеалы.
Видео с ютуба:
- https://www.youtube.com/watch?v=2AKt6adG_OI
- https://www.youtube.com/watch?v=0i3ocLhbxJ4
- SIBGRAPI2021 про силы, ускорения, момент инерции и т.п.
Заметки из Geometric Algebra Primer
Внешнее произведение (outer product): a^b = -b^a. Из определения получается, что a^a = -a^a = 0.
Если есть N базисных векторов (basis vectors), то получится 2^N возможных сочетаний (basis blades). Потому что каждый из векторов либо есть, либо нет. Если он появится два раза, то всё обнулится.
Скаляры, вектора, бивектора и т.п. - 0-blades, 1-blades, 2-blades …
Геометрическое произведение (geometric product): ab = a⋅b + a^b
- Если базовые вектора разные, то a⋅b==0 и выражение упрощается до ab = a^b. По-сути в формулах над базисными векторами можно свободно одно заменять на другое, когда вектора разные.
- Если одинаковые, то аа = а⋅а.
- Геометрическое произведение ассоциативно: (AB)C = A(BC)
- Оно коммутативно с умножением на скаляр: As = sA
- Дистрибутивно для сложения: A(B+C) = AB + AC
- В общем случае геометрическое произведение не коммутативно.
Линейную комбинацию k-blades называют мультивектором.
Что забавно, для 2-вектора геометрическое произвдение с ним самим будет равно минус единице: \((e_1 e_2) (е_1 e_2) = -e_1 (e_1 e_2) e_2 = -1\)
Для двухмерного случая таблица умножения получится такая:
| 1 | e_1 | e_2 | I | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | e_1 | e_2 | I |
| e_1 | e_1 | 1 | I | e_2 |
| e_2 | e_2 | -I | 1 | -e_1 |
| I | 1 | -e_2 | e_1 | -1 |
Можно выразить скалярное и внешнее произведения через геометрическое:
- 2 a^b = ab - ba
- 2 a⋅b = ab + ba
В некоторых книжках “базовым” является геометрическое провизедение и всё выражают через него, в других наборот выражают через внешнее и внутреннее.
Внутренних произведений много разных, дальше рассматривается contraction inner product
скаляры \(a \lrcorner b = a b\) вектор и склаяр \(a \lrcorner b = 0\) скаляр и вектор \(a \lrcorner b = ab\) вектора \(a \lrcorner b = a \cdot b\) вектор, мультивектор \(a \lrcorner (b \wedge C) = (a \lrcorner b) \wedge C - b \wedge (a \lrcorner C)\) дистрибутивность: \((A \wedge B) \lrcorner C = A \lrcorner (B \lrcorner A)\)
но якобы скалярное произведение и внутреннее в каких-то контекстах одно и то же, так что дальше по книжке будут пистать a⋅b
Обратный элемент
Как и с матрицами, в общем случае сложно. Частный случай: versor: вектор, который является геометрическим произведением векторов (которые 1-blades)
для версора \(А = v_1 v_2 ... v_k\)
вводится reverse (его почему-то обозначают плюсиком)
\[A^{†} = v_k ... v_2 v_1\]а дальше обратный вводится как
\[A^{-1} = \dfrac{A^{†}}{A^{†} A}\]\(A^{-1} A = \dfrac{A^{†} A}{A^{†} A} = 1\) если конечно версор не нулевой.
А ещё для версоров обратный элемент слева и справа совпадает. А ещё единичный вектор равен обратному к себе же.
Дуальность
Можно взять произведение всех векторочков, например для GA 2 будет \(I = e_1 e_2\)
Это будет всевдоскаляр в видео одного чиселка. Дуальное вводится так:
\[A^* A = I\]например, в GA 3 \(e^{*}_{12} = e_3\)
Projection, Rejection
Если есть вектор a и бивектор B, то можно разложить a на две компоненты - проекцию на B и перпендикулярную часть.
Вообще говоря в этом месте B может быть любой размерности, но главное чтобы размерность всех компонент совпадала.
\[aB = a_{||_B} \cdot B + a_{⊥_B} \wedge B\]С ними довольно логично:
\[a_{⊥_B} \cdot B = 0\] \[a_{||_B} \wedge B = 0\]И можно выразить так:
\[a_{⊥_B} B = a \wedge B\] \[a_{⊥_B} = (a \wedge B) B^{-1}\]Аналогично для второй компоненты:
\[a_{||_B} B = a_{||_B} \cdot B\] \[a_{||_B} = (a_{||_B} \cdot B) B^{-1}\]отражения
пусть есть бивектор U, к нему дуальным будет вектор нормали u
\[ua = u(a_{||_{U}} + a_{⊥_U}) = u \cdot a_{||_{U}} + u \wedge a_{||_{U}} + u \cdot a_{⊥_U} + u \wedge a_{|⊥_U}\]Тут надо не перепутать U и u, перпендикулярная к U часть паралелльна u. Внутренне произведедние между векторами коммутативно, внешнее антикоммутативно
\[ua = u \wedge a_{||_{U}} + u \cdot a_{⊥_U} = a_{⊥_U} \cdot u - a_{||_{U}} \wedge u = (a_{⊥_U} - a_{||_{U}}) u\] \[-ua = (a_{||_{U} - a_{⊥_U}}) u\] \[-uau^{-1} = a_{||_{U} - a_{⊥_U}}\]обычно вектор u берут единичной длины, тогда для него \(u^{-1} = u\)
и отражение упрощается до -uau
В Plane-based геометрической алгебре минус вообще не важен, так как домножение элемента на ненулевую константу ничего не меняет.
Причём поворот можно предстаить как два отражения (а два отражения при перемножении превращаются в скаляр и бивектор, который в терминах геометрической алгебры называется спинором, а по-сути это привычный кватернион)
А произведение двух спиноров - опять спинор. Спиноры обычно обозначают буквой R.
Линии
уравнение для линии, паралелльной вектору u и происходящей через начало координат: x^u = 0. Для сдвинутого центра будет (x-a)^u = 0
\((x - a) \wedge u = 0\) \(x \wedge u - a \wedge u = 0\) \(x \wedge u = a \wedge u = U\)
Если u - вектор единичной длины, то |U| равен расстояние от центра координат до прямой. Вектор кратчайшего расстояния от центра до прямой \(d = \dfrac{U}{u} = Uu\)
Повороты в 3d
Что забавно, если поворот записать как произведение двух векторов: R = st, то обратный будет довольно красиво выражаться
\(R = st = s \cdot t + s \wedge t\) \(R^† = ts = s \cdot t - s \wedge t\)
вращение записывается так:
\[v' = R^† v R\]так как поворот это комбинация двух отражий, -1 появляется дважды и самоуничтожается
\[v = -t (-svs) t = tsvst = R^† v R\]Плоскость
Уравнение плоскости, где B - бивектор: \(x \wedge B = 0\). Аналогично с прямой для прождения не через центр
\((x - a) \wedge B = 0\) \(x \wedge B = a \wedge B = U\)
В PGA вектор ax+by+cz+dw - это плоскость, заданая уравнением \(ax + by + cz + d = 0\)
Homogeneous Space
вводится ещё один базисный вектор (e), перпендикулярный e_1, e_2, e_3
(x,y,z) описываются как \((x, y, z) = (\dfrac{x}{w}, \dfrac{y}{w}, \dfrac{z}{w}, \dfrac{w}{w})\)
Такой подход позволит кодировать позицию и уравнения прямых, плоскостей и т.п. упрощаются.
Будет разница между вектором(направлением) и точкой в пространстве - у вектора w=0, у точки w=1.
Причём пересечение плоскостей считается легко: \((P \wedge Q) ∩ (N \wedge M) = (P \wedge Q)^* \cdot N \wedge M)\)
В этом пространстве домножение на константу не влияет. Условно, вектор (x, y, z, 1) превратится в (xw, yw, z*w, w) и при нормировке это можно будет убрать.
Если получить прямую или плоскость как внешнее произведение двух или трёх точек, то в общем случае они не будут отнормированы.
квадрат базисного вектора обязан быть нулём, тогда экспоненциирование сводится к линейной операции $e^a = (1 + a)$ и это будут линейные перемещения.
Заметка из https://habr.com/ru/articles/732926/
Честно говоря не вижу применения для своих целей, но как красивая концепция - пускай будет.
Надо быть аккуратным, есть отличия от привычных мне обозначений. Здесь reverse в sandwich product делается для левого аргумента, а не для правого, и ещё почему-то после возведения в квадрат автор почему-то домножает на reverse.
Можно взять вектор единичной длины: \(v^2 = 1\)
Проекторы: \(p_+ = \dfrac{1}{2}(1 + v)\) \(p_- = \dfrac{1}{2}(1 - v)\)
\(p_+ + p_- = 1\) \(p_+ - p_- = v\)
Фишка в том, что квадрат проектора равен ему самому: \(p_+^2 = \dfrac{1}{2}(1 + v) \dfrac{1}{2}(1 + v) = \dfrac{1}{4}(1 + 2v + v^2) = \dfrac{1}{4}(1 + 2v + 1) = \dfrac{1}{2}(1 + v)\)
Поэтому произведение любого элемента алгебры на проекцию тоже будет проекцией. Идеал может быть левым или правым в зависимости от того, с какой стороны домножать.
И ещё момент:
\[p_+ v = \dfrac{1}{2}(1 + v)v = \dfrac{1}{2}(v + v^2) = \dfrac{1}{2}(v + 1)\]Любой мультивектор можно разложить по двум проекциям: \(A = A 1 = A (p_+ + p_-) = Ap_+ + Ap_-\)
А ещё \(v = p_+ - p_- = p_+^2- p_-^2 = p_+ p_+^† - p_- p_-^†\)
Дальше можно вспомнить вращение вектора \(R v R^† = R (p_+ p_+^† - p_- p_-^†) R^† = R p_+ p_+^† R^† - R p_- p_-^† R^† = R p_+ (R p_+)^† - R p_- (R p_-)^†\)
Из видео: https://www.youtube.com/watch?v=2AKt6adG_OI
Magnitude Предлагается вместо длины определять сразу квадрат длины, так как в некоторых алгебрах результат может быть отрицательным и извлекать корень будет некрасиво. Якобы обычно достаточно квадрата длины.
| Квадрат длины как $$ | A | ^2 = A^† A$$, причём предлагается брать только скалярную часть. Потому что в обещем случае там могут быть прочие компоненты. |
Если попытаться определить dual как AI, то будет фиаско для векторов, квадрат которых равен нулю (тот самый в проективной алгебре). А ещё дуальное пространство - дополнение до полного, и знак может быть произвольным.
Поэтому там используется hodge star. Типа \(A dual(A) = A ★A = I\) В моём коде это rightComplement
| Для ненормированных векторов: $$A ★A = | A | ^2 I$$ |
В других местах это называется right сomplement и left сomplement. Ещё момент - v зависит от размерности пространства, например \(e_{12} v e_{32} = - e_3\) в 3д и равно нулю в 4д.
Интересно, что внутренних произведений несколько и они хитро опеределны: есть проекция слева направо (left contraction), причём правый вектор должен содержать все-все компоненты правого, и они уйдут), есть проекция справа налево, а так же есть inner product, который проецирует либо левое на правое, либо наоборот. И эти операторы строго снижают размерность (из n и k делают |n-k|)
И типа aB =leftContraction(a, B) + a \wedge B? если а - вектор и B - мультивектор.
Из ещё одного видео: https://www.youtube.com/watch?v=0i3ocLhbxJ4
Кажется, в нём все-все размышления в дуальном пространстве, потому что у автора для 2д вектор это линия, а бивектор точка, и для 3д - вектор это плоскость, бивектор - линия, тривектор - точка. А я привык наоборот.
Интересная идея - можно брать линейную комбинацию двух линий и получать что-то промежуточное. Причём можно использовать и отрицательные коэффициенты.
И ещё тут возможна “точка в бесконечности”, которая вяляется пересеченим параллельных прямых.
meet: outer product (^) join: (regressive product (v)) inner product используется для проекции прямой на точку, прямой на точку или линии на точку. типа (a . B) B.
Причём когда а - линия и B - точка (бивектор), то (a . B) B - линия через точку, (a . B) B - точка проекции точки на линию.
inner product двух бивекторов - скаляр.
Почему-то примененеи ротора определено как \(R+† p R\)
Ещё интересный момент с экспонентой (u, v - перпендикулярные линии, alpha - угол., \((uv)^2 = 1\)
\[e^{uv \alpha} = \cos(\alpha) + uv \sin(\alpha) = 1 \cos(\alpha) + uv \sin(\alpha) = uu \cos(\alpha) + uv \sin(\alpha) = u (u \cos(\alpha) + v \sin(\alpha))\]В последнем выражении получается вектор u и вектор (u \cos(\alpha) + v \sin(\alpha)), который зависит от угла.
Перенос - это поворот относительно бесконечно далёкой точки. Причём e_0^2 == 0, поэтому разложение в экспоненциальный вид имеет только два слагаемых.
\[e^{u e_o x} = 1 + u e_o x + \dfrac{(u e_o x)^2}{2} + .... = 1 + u e_o x = uu + u e_o x = u (u + e_o x)\]SIBGRAPI2021 ep3 про силы, ускорения и т.п.
Следующие видео тоже очень интересные.
Ускорние, скорость, позиция - 2-вектора. Сила и момент - дуальные к ним, (d-1)-вектора
Обозначения:
Forque (force + torque) = F = P’ Momentum = P Acceleration A = V’ = M’’ Velocity = V Position (Motor) = M
\[F = A*\] \[M' = -\dfrac{1}{2}MV\]Мои наблюдения
| $$ | A | B | = | A ⟑ B | $$ | |
| Для проективной алгебры норма не сохраняется, просто из-за того, что для одного из измерений $$ | w ⟑ w | = 0$$ и эта часть в скалярную не попадёт. |
В bivector.net в коде используется хитрый базис:
self._base = ["1", "e0", "e1", "e2", "e3", "e01", "e02", "e03", "e12", "e31", "e23", "e021", "e013", "e032", "e123", "e0123"]
В нём некоторые элементы перевёрнуты. И в таком базисе дуальное определено просто как замена между первым и последнием элементом, вторым и предпоследним и т.п. И так как дуальное нигде не меняет знаков, очевидно что оно обратимо само себе (и это очень удобно)
Прямая задаётся вектором (уравнение прямой - ax + by + cz + d = 0). Причём надо обратить внимание на то, что d = - dot(normal, pointOnAPlane).
plane.sandwich(_) становится операцией отражения.
бивектор (произведение двух плоскостей) как два отражения превращается в перенос и вращение
тривектор (точка) - отражение относительно точки
внешнее произведение двух плоскостей - линия.
Уравнение линии из точки а с направлением n
a v (a + n) == MultiVector(
wx -> (a.y * n.z - a.z * n.y)
wy -> (a.z * n.x - a.x * n.z)
wz -> (a.x * n.y - a.y * n.x)
xy -> n.z
xz -> -n.y
yz -> n.x
)
по-сути в xy, xz, yz лежит направление и в wx, wy, wz - (a x n) - закодирован сдвиг от центра координат. Если предположить, что длина n = 1, а - ближайшая точка прямой к центру координат, то n x a будет перпендикулярно обоим и с длиной как расстояние до центра координат.
Линия как пересечение двух плоскостей:
a ^ c == MultiVector(
wx -> (a.d * c.nx - a.nx * c.d)
wy -> (a.d * c.ny - a.ny * c.d)
wz -> (a.d * c.nz - a.nz * c.d)
xy -> (a.nx * c.ny - a.ny * c.nx)
xz -> (a.nx * c.nz - a.nz * c.nx)
yz -> (a.ny * c.nz - a.nz * c.ny)
)
Линия как внутренне произведение точки и направления:
pos = MultiVector(
wxy -> -pos.z
wxz -> pos.y
wyz -> -pos.x
xyz -> 1.0
)
shift = MultiVector(
x -> s.x
y -> s.y
z -> s.z
)
pos dot shift = MultiVector(
wx -> (pos.y * s.z - pos.z * s.y)
wy -> (pos.z * s.x - pos.x * s.z)
wz -> (pos.x * s.y - pos.y * s.x)
xy -> s.z
xz -> -s.y
yz -> s.x
)
Если перемножить две паралельные плоскости, то xy, yz, xz будут нулями, и бивектор будет описывать перемещение.
Оператор перемещения на dx, dy, dz:
MultiVector(
1 -> 1.0
wx -> -0.5 * d.x
wy -> -0.5 * d.y
wz -> -0.5 * d.z
)
Причём все попарные произведения произведения типа wx wx, wx wy равны нулю, и \(exp(v) = exp(a wx + b wy + c wz) = 1 + a wx + b wy + c wz = 1 + v\)
Так что логарифм оператора перемещения выглядит практически так же:
MultiVector(
wx -> -0.5 * d.x
wy -> -0.5 * d.y
wz -> -0.5 * d.z
)
Для вращательных” компонент посложнее:
\[v^2 = (a xy + b xz + c yz)^2 = a^2 (xy)^2 + b^2 (xz)^2 + c^2 (yz)^2 - ab (xyxz + xzxy) + ... = - a^2 - b^2 - c^2 = -|v|^2\] \[exp(v) = exp(a xy + b xz + c yz) = 1 + v + \dfrac{v^2}{2} + \dfrac{v^3}{3!} + ... = 1 + v - \dfrac{|v|^2}{2} - \dfrac{|v|^2 v}{3!} + \dfrac{|v|^4}{4} - ...\] \[= (1 - \dfrac{|v|^2}{2} + \dfrac{|v|^4}{4} - ...) + v(1 - \dfrac{|v|^2}{3!} + \dfrac{|v|^4}{5!} - ...) = cos(|v|) + \dfrac{v} {|v|} sin(|v|)\]Если скомбинировать сразу перемещение и вращение, что квадрат не будет скаляром, там ещё появится четыре-вектор (wxyz).
a = MultiVector(
wx -> a.wx
wy -> a.wy
wz -> a.wz
xy -> a.xy
xz -> a.xz
yz -> a.yz
)
a geometric a = MultiVector(
1 -> (-a.xy * a.xy - a.xz * a.xz - a.yz * a.yz)
I -> (-2.0 * a.wy * a.xz + 2.0 * a.wx * a.yz + 2.0 * a.wz * a.xy)
)
Но если получить прямую пересечением двух плоскостей или объединением двух точек, то (wx, wy, wz) и (a.xy, a.xz, a.yz) будут перпендикулярными и тогда I = 0
А вот если это не уравнение прямой, а какой-то бивектор (например, описывающий скорость тела), то в I будет закодирован сдвиг вдоль оси вращения.
Комбинация вращения и переноса:
q = MultiVector(
1 -> q.cos
xy -> q.xy
xz -> q.xz
yz -> q.yz
)
tr = MultiVector(
1 -> 1.0
wx -> t.x
wy -> t.y
wz -> t.z
)
tr q = MultiVector(
1 -> q.cos
wx -> (q.cos * t.x - q.xy * t.y - q.xz * t.z)
wy -> (q.cos * t.y + q.xy * t.x - q.yz * t.z)
wz -> (q.cos * t.z + q.xz * t.x + q.yz * t.y)
xy -> q.xy
xz -> q.xz
yz -> q.yz
I -> (q.xy * t.z + q.yz * t.x - q.xz * t.y)
)
q tr = MultiVector(
1 -> q.cos
wx -> (q.cos * t.x + q.xy * t.y + q.xz * t.z)
wy -> (q.cos * t.y + q.yz * t.z - q.xy * t.x)
wz -> (q.cos * t.z - q.xz * t.x - q.yz * t.y)
xy -> q.xy
xz -> q.xz
yz -> q.yz
I -> (q.xy * t.z + q.yz * t.x - q.xz * t.y)
)
Перенос не влияет на компоненты кватерниона, но добавляет новых в wx, wy, wz и I.
Импульс
Момент точки с какой-то массой и скоростью:
\[P = m X ∨ X' = m v ⋅ X\]кроме того
\[X' = X × B\] \[P = I[B] = m X ∨ (X × B) = m X ∨ (XB - BX)\]бивектор B, а момент P получается размерности d-1.
pos = MultiVector(
wxy -> -pos.z
wxz -> pos.y
wyz -> -pos.x
xyz -> 1.0
)
v = MultiVector(
x -> v.x
y -> v.y
z -> v.z
)
forque = (v dot pos * mass) = MultiVector(
wx -> (mass * pos.y * v.z - mass * pos.z * v.y)
wy -> (mass * pos.z * v.x - mass * pos.x * v.z)
wz -> (mass * pos.x * v.y - mass * pos.y * v.x)
xy -> mass * v.z
xz -> -mass * v.y
yz -> mass * v.x
)
forque.dual = MultiVector(
wx -> mass * v.x
wy -> mass * v.y
wz -> mass * v.z
xy -> (mass * pos.x * v.y - mass * pos.y * v.x)
xz -> (mass * pos.x * v.z - mass * pos.z * v.x)
yz -> (mass * pos.y * v.z - mass * pos.z * v.y)
)
момент относительно точки pos (нет вращательной компоненты):
forque in point x = forque - ((v * mass) dot (x.weight) = MultiVector(
wx -> 0.0
wy -> 0.0
wz -> 0.0
xy -> mass * v.z
xz -> -mass * v.y
yz -> mass * v.x
)
Импульс точек с x и -x и скоростью в одном направлении (т.е., нет вращательного момента относительно центра координат):
MultiVector(
wx -> 0.0
wy -> 0.0
wz -> 0.0
xy -> 2.0 * mass * v.z
xz -> -2.0 * mass * v.y
yz -> 2.0 * mass * v.x
)
импульс противоположных точек со скоростью в противоположном направлении (т.е., нет поступательного импусльса, есть только вращенеи вокруг центра)
MultiVector(
wx -> (-2.0 * mass * pos.z * v.y + 2.0 * mass * pos.y * v.z)
wy -> (-2.0 * mass * pos.x * v.z + 2.0 * mass * pos.z * v.x)
wz -> (-2.0 * mass * pos.y * v.x + 2.0 * mass * pos.x * v.y)
xy -> 0.0
xz -> 0.0
yz -> 0.0
)